第5天：递归与动态规划深度解析 - 高频面试算法 & Java 实战

1. 递归 & 动态规划核心概念

1.1 递归（Recursion）

递归是一种通过函数调用自身来解决问题的方法，通常用于分解大问题为子问题。
关键点：

递归终止条件（Base Case）
递归关系（Recurrence Relation）
避免重复计算（记忆化或动态规划）

1.2 动态规划（Dynamic Programming, DP）

动态规划是一种优化递归的算法，核心思想是**“将问题分解为子问题，存储子问题的结果，以避免重复计算”**。
核心步骤：

定义状态（State）：确定 dp 数组的含义。
状态转移方程（Transition）：找到递推关系。
初始化（Initialization）：确定基本情况。
遍历顺序（Order）：自顶向下（递归）或自底向上（迭代）。
返回最终结果（Result）。

2. 高频算法题及 Java 代码实现

问题1：爬楼梯（Climbing Stairs）

问题描述

假设你正在爬楼梯。每次可以爬 1 或 2 个台阶，总共有 n 个台阶，问有多少种不同的爬楼方式？

示例

Input: n = 3  
Output: 3  
Explanation: (1,1,1), (1,2), (2,1)

解法1：递归（指数时间复杂度 O(2ⁿ)）

public int climbStairs(int n) {
    if (n <= 2) return n;
    return climbStairs(n - 1) + climbStairs(n - 2);
}

解法2：记忆化递归（O(n) 时间 & O(n) 空间）

public int climbStairs(int n, Map<Integer, Integer> memo) {
    if (n <= 2) return n;
    if (memo.containsKey(n)) return memo.get(n);
    int result = climbStairs(n - 1, memo) + climbStairs(n - 2, memo);
    memo.put(n, result);
    return result;
}

解法3：动态规划（O(n) 时间 & O(n) 空间）

public int climbStairs(int n) {
    if (n <= 2) return n;
    int[] dp = new int[n + 1];
    dp[1] = 1;
    dp[2] = 2;
    for (int i = 3; i <= n; i++) {
        dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
    }
    return dp[n];
}

解法4：斐波那契优化（O(n) 时间 & O(1) 空间）

public int climbStairs(int n) {
    if (n <= 2) return n;
    int prev1 = 1, prev2 = 2;
    for (int i = 3; i <= n; i++) {
        int temp = prev1 + prev2;
        prev1 = prev2;
        prev2 = temp;
    }
    return prev2;
}

问题2：打家劫舍（House Robber）

问题描述

你是一个专业的盗贼，计划抢劫一条街上的房屋，每间房屋存有一定现金。如果两间相邻的房屋被盗，警报会触发。
问：如何偷取到最多的钱？

示例

Input: nums = [2,7,9,3,1]  
Output: 12  
Explanation: 选择 2 + 9 + 1 = 12，而不是 7 + 3 = 10。

解法1：递归（O(2ⁿ)）

public int rob(int[] nums) {
    return robHelper(nums, nums.length - 1);
}

private int robHelper(int[] nums, int i) {
    if (i < 0) return 0;
    return Math.max(robHelper(nums, i - 1), nums[i] + robHelper(nums, i - 2));
}

解法2：动态规划（O(n) 时间 & O(n) 空间）

public int rob(int[] nums) {
    if (nums.length == 0) return 0;
    int[] dp = new int[nums.length + 1];
    dp[0] = 0;
    dp[1] = nums[0];
    for (int i = 2; i <= nums.length; i++) {
        dp[i] = Math.max(dp[i - 1], nums[i - 1] + dp[i - 2]);
    }
    return dp[nums.length];
}

解法3：空间优化（O(n) 时间 & O(1) 空间）

public int rob(int[] nums) {
    if (nums.length == 0) return 0;
    int prev1 = 0, prev2 = 0;
    for (int num : nums) {
        int temp = Math.max(prev1, num + prev2);
        prev2 = prev1;
        prev1 = temp;
    }
    return prev1;
}

问题3：最长公共子序列（Longest Common Subsequence, LCS）

问题描述

给定两个字符串 text1 和 text2，求它们的最长公共子序列的长度。

示例

Input: text1 = "abcde", text2 = "ace"  
Output: 3  
Explanation: 最长公共子序列是 "ace"

解法1：递归（指数时间复杂度 O(2ⁿ)）

public int longestCommonSubsequence(String text1, String text2) {
    return lcsHelper(text1, text2, text1.length(), text2.length());
}

private int lcsHelper(String text1, String text2, int m, int n) {
    if (m == 0 || n == 0) return 0;
    if (text1.charAt(m - 1) == text2.charAt(n - 1))
        return 1 + lcsHelper(text1, text2, m - 1, n - 1);
    else
        return Math.max(lcsHelper(text1, text2, m - 1, n), lcsHelper(text1, text2, m, n - 1));
}

**解法2：动态规划（O(m * n)）**

public int longestCommonSubsequence(String text1, String text2) {
    int m = text1.length(), n = text2.length();
    int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];
    
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            if (text1.charAt(i - 1) == text2.charAt(j - 1))
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
            else
                dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
        }
    }
    return dp[m][n];
}

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